И.Н. Березин родился в селе Лебяжье Павловского района Алтайского края в семье крестьянина. После окончания неполной средней школы и курсов трактористов проживал и работал в селе Костенково Новокузнецкого района Кемеровской области.
8 сентября 1943 г. был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную армию Искитимским районным военным комиссариатом Кемеровской области, после чего направлен на фронт. Участвовал в боях на Калининском и 1-м Прибалтийском фронтах. К июню 1944 г. красноармеец И.Н. Березин был стрелком 975-го стрелкового полка 270-й стрелковой дивизии 6-й гвардейской армии 1-го Прибалтийского фронта. Особо отличился во время форсирования Западной Двины в Белорусской ССР. В ночь с 25 на 26 июня 1944 г., несмотря на массированный вражеский огонь, Березин переправился через реку в районе посёлка Улла Бешенковичского района Витебской области, подполз к немецкому пулемётному расчёту и уничтожил его гранатами. Это способствовало успешной переправе подразделений 975-го стрелкового полка (наградной лист от 28 июня 1944 г.).
26 июня 1944 г. И.Н. Березин погиб в бою. Был похоронен в братской могиле в деревне Осинторф Дубровенского района Витебской области. После окончания войны прах 56 советских воинов, в том числе и И.Н. Березина, был перезахоронен в посёлке Улла. В 1965 г. над этим захоронением был установлен памятник.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 г. за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм» красноармеец И.Н. Березин посмертно был удостоен высокого звания Героя Советского Союза, а также ордена Ленина.
В честь И.Н. Березина названы улица и клуб в селе Костенково Новокузнецкого района. Имя Березина увековечено на Мемориале Славы в Барнауле.