А.Н. Ботян родился 28 января (10 февраля) 1917 года на территории Западной Белоруссии, которая в марте 1921 года отошла к Польше. В 1935 году окончил педагогическое училище. В 22 года был призван в польскую армию, в составе которой служил капралом 3-го дивизиона зенитной артиллерии в городе Вильно. В сентябре 1939 года, будучи наводчиком расчета зенитного орудия, участвовал в боях против немецкого вторжения в Польшу.
В сентябре 1939 году стал гражданином СССР, в 1940 году окончил педагогические курсы, работал заведующим начальной школой села Ровковичи Воложинского района. Также был комсомольским активистом.
В мае 1941 году зачислен в НКВД и направлен на учебу в Высшую разведывательную школу. В июле 1941 года зачислен в состав Отдельной мотострелковой бригады особого назначения, подчинявшейся четвертому управлению НКВД СССР. В ноябре 1941 года в качестве командира разведывательно-диверсионной группы переброшен за линию фронта.
Участвовал в обороне Москвы.
В 1942 году направлен в глубокий тыл врага в западные районы Украины и Белоруссии. Был заместителем по разведке командира партизанского соединения Героя Советского Союза Виктора Карасёва. Под его непосредственным руководством проведена операция по взрыву немецкого гебитскомиссариата в городе Овруч Житомирской области Украинской ССР, когда там находилась инспекция из Германии. В результате этой операции 9 сентября 1943 года было уничтожено 80 гитлеровских офицеров.
Весной 1944 года сыграл значительную роль в сохранении города Кракова от разрушения немецкими войсками. В последние месяцы войны группа Алексея Ботяна действовала в тылу врага на оккупированной территории Чехословакии.
С 1945 года проходил службу в оперативном составе 1-го Управления (внешняя разведка) Наркомата государственной безопасности СССР (с 1946 года – Министерство государственной безопасности СССР, с 1954 года – Комитет государственной безопасности при Совете Министров СССР).
После войны неоднократно выезжал в заграничные командировки в различные европейские страны для выполнения сложных и ответственных заданий, сведения о многих из которых до сих пор засекречены.
Консультировал сотрудников группы специального назначения «Вымпел». В 1983 году в звании полковника был уволен в отставку по возрасту (в 66 лет). До 1989 года продолжал работать в органах КГБ СССР в качестве гражданского специалиста.
Владел немецким, польским и чешским языками.
Указом Президента Российской Федерации от 10 мая 2007 года «за мужество и героизм, проявленные в ходе операции по освобождению польского города Кракова и предотвращению уничтожения его немецко-фашистскими захватчиками в период Великой Отечественной войны 1941–1945 годов», полковнику в отставке Ботяну Алексею Николаевичу было присвоено звание Героя Российской Федерации с вручением медали «Золотая Звезда».
Проживал в Москве.